Wir haben den Gradienten als einen Differentialoperator erster Ordnung kennengelernt,

der im Prinzip alle ersten partiellen Ableitungen sammelt. Jetzt könnte man sich dieselbe Frage

stellen für Differentialoperatoren höherer Ordnung, gibt es da etwas, das mir alle zweiten

Ableitungen sammelt? Und ja, in der Tat, es gibt einen sehr wichtigen Operator, nämlich die

sogenannte Hessematrix und die hat im Prinzip als Einträge in dieser zweidimensionalen Form

alle zweiten Ableitungen in allen Kombinationen. Das heißt, wir wollen uns in diesem Video mit dem

sehr wichtigen Begriff der Hessematrix beschäftigen und wir werden diese Hessematrix später noch

einmal brauchen, nämlich bei der Taylor-Formel im Mehrdimensionalen, sowohl auch bei der Optimierung,

wo die Hessematrix uns Auskunft darüber gibt, ob es sich in einem Punkt um einen Sattelpunkt,

einem Minimum oder einem Maximum handelt. Das heißt, das ist ein sehr wichtiger Operator

von höherer Ordnung und wir beginnen direkt mit der Definition der Hessematrix.

Ich habe es schon anklingen lassen, im Prinzip sammelt die wieder gradient auch nur die zweiten

Ableitungen. Dennoch wollen wir es formal korrekt machen. Wir sagen U, Teilmenge, R, auch N,

eine offene Menge und wir betrachten eine Funktion, die, das ist jetzt sehr wichtig,

zweimal stetig partiell differenzierbar ist. Wir haben schon gesehen, mit dem Satz von Schwarz,

dann können wir nämlich die Richtungsableitung vertauschen und sei F von der Teilmenge U in

die reellen Zahlen eine, ich schreibe mal in Blau, zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion.

Dann können wir die Hessematrix, die bezeichnen wir auch mit Hf von F, in einem Punkt x in dieser

Umgebung definieren. Dann können wir die sogenannte Hessematrix, die notieren wir typischerweise mit

einem großen H und im Subindex ein F, damit klar ist, das bezieht sich auf die Funktion F, in einem

Punkt x von U, im Punkt x Element U definieren als, und jetzt muss ich im Prinzip nur alle

Kombinationen von zweiten Ableitungen aufschreiben und das mache ich typischerweise in so einer

Tabelle und diese Tabelle ist eine Matrix, daher der Name Hessematrix, die ist definiert im Punkt

x wie folgt, kompakt geschrieben, können wir das Ganze jetzt mal mit der ausgeschriebenen Form der

partiellen Ableitung als d²f und d², Sie erinnern sich, haben wir eingeführt, meint, wir leiten zweimal

ab und zwar in die Richtung xixj, in diese Koordinatenrichtung, also dxij, das sind alle

zweiten Ableitungen in einem Punkt x und das über alle i und j zwischen 1 und n. Das Ganze können wir

ein bisschen kompakter schreiben, wenn wir nicht diese Bruchschreibweise für partielle Ableitungen

wählen, sondern die Kurzschreibweise, dann ist das del i del j f von x auch wieder mit 1 kleiner

gleich i j kleiner gleich n und das Ganze muss man sich vorstellen, eine Matrix angeordnet, die wie

folgt aussieht, wir haben im ersten Eintrag die zweifache partielle Ableitung in erste Koordinatenrichtung,

die hatten wir geschrieben als del 1² f von x, dann kommt danach ein del 1 del 2 f von x und so weiter,

bis wir eben in der enden Koordinatenrichtung sind, das heißt, wir haben Ableitung in erste Richtung,

Ableitung in die Ende Richtung f von x, das Ganze geht im Prinzip auch in diese Richtung, da haben wir

dann immer einen del n del 1 f von x, bis wir unten angekommen sind bei del n² f von x und das ist die

Gestalt der Hessische Matrix. Jetzt ist es so, wir haben ja gesagt, die Funktion sei zweimal stetig

partiell differenzierbar und ich unterstreiche nochmal hier die Wichtigkeit der Stetigkeit, denn

nach dem Satz von Schwarz wissen wir dann, wir können die partiellen Ableitungen in ihrer

Reihenfolge vertauschen und das heißt aber auch insbesondere, dass wenn ich hier auf diese Form

schaue, ich nehme mal einfach dieses Element in der Ecke, dann kommt nach dem Satz von Schwarz raus,

dass die beiden gleich sind und wenn ich das für alle Elemente mir anschaue, dann kommt raus,

dass die Hessische Matrix symmetrisch ist, das heißt, dass sie gleich ihrer Transponierten ist

und das liegt einfach nur daran, dass wir gefordert haben, dass die Hessische Matrix für eine Funktion

definiert ist, die zweimal stetig partiell differenzierbar ist, so dass wir den Satz von

Schwarz anwenden können und die Reihenfolge der Ableitung keine Rolle mehr spielt. Also dazu

kurz von Übermerkung, nach dem Satz von Schwarz im letzten Video ist die Hessische Matrix,

geschrieben als HF von F, symmetrisch, das heißt insbesondere, dass die ihrer Transponierten gleich,

das heißt, wir können schreiben HF transponiert ist gerade gleich HF. Das hat schöne Eigenschaften,

vor allem in der Numerik freut man sich immer sehr über symmetrische Matrizen, aber dazu dann

später. Jetzt wollen wir noch für ein bisschen mehr Intuition ein kleines Rechenbeispiel machen,